三門問題真的違反直覺嗎？ | 決勝21點的三門問題解析 | 博恩也搞不懂的三門問題
最近在PTT上又看到大家在熱烈討論「三扇门的问题 ptt」，這個經典的機率謎題真的是每次出現都會引發一波論戰啊！說實話，我第一次看到這個問題的時候也是完全想不通，為什麼換門的中獎機率會比較高？明明就感覺兩扇門的機率應該是一樣的啊！後來看了很多網友的解釋才慢慢理解，今天就來跟大家分享一下我的心得。
這個問題最讓人困惑的地方在於，主持人其實是知道門後情況的，而且一定會打開一扇沒獎的門。這就讓整個情況變得很不一樣了！我整理了一個簡單的表格來說明：
| 情境 | 初始選擇 | 主持人行為 | 換門結果 | 不換結果 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 選中獎 | 開空門 | 輸 | 贏 |
| 2 | 選空門A | 開空門B | 贏 | 輸 |
| 3 | 選空門B | 開空門A | 贏 | 輸 |
從表格可以很清楚地看到，三種情境中有兩種換門會贏，所以換門的中獎機率確實是2/3。這個問題最有趣的地方就是，很多數學系畢業的人一開始也會答錯，包括我在內啦！PTT上就有人分享說，他們教授在課堂上問這個問題時，全班幾乎沒人答對，後來經過激烈討論才搞懂。
說到這個，讓我想起PTT joke板有人轉貼的《決勝21點》電影情節，裡面也有提到類似的機率問題。不過我覺得電影裡講得比較簡略，沒有像PTT討論串那樣深入分析。C_Chat板之前也有網友用動漫角色來比喻，說這就像是在玩戀愛遊戲時要選擇攻略對象一樣，有時候換個選擇反而會有意想不到的結果，這種比喻真的超有創意的啦！
最近PTT數學版和八卦版都在熱烈討論「三門問題到底是什麼？PTT鄉民都在討論的機率謎題」，這個源自美國電視節目的經典機率問題，其實就是大家熟悉的「蒙提霍爾問題」。簡單來說，你面前有三道門，後面分別藏著兩隻山羊和一輛汽車，選中汽車就能開回家。當你隨機選擇一道門後，主持人（知道門後有什麼）會打開另一道有山羊的門，然後問你要不要換選擇。這時候到底該不該換？PTT網友們為此吵翻天啦！
這個問題最反直覺的地方在於，多數人會覺得換不換門的中獎機率都是50%，但實際上經過數學家驗證，堅持原選擇的勝率只有1/3，而換門的勝率會提升到2/3！來看看網友們實際模擬的數據：
| 選擇策略 | 模擬次數 | 中獎次數 | 中獎率 |
|---|---|---|---|
| 堅持原門 | 10,000次 | 3,328次 | 33.28% |
| 更換選擇 | 10,000次 | 6,672次 | 66.72% |
很多鄉民一開始都不相信這個結果，直到有人寫程式跑模擬才心服口服。其實關鍵在於主持人「一定會開山羊門」這個動作提供了額外資訊，就像玩撲克牌時對手主動透露訊息一樣。有網友用更極端的例子解釋：假如有100道門，你選1道後主持人開98道山羊門，這時候換門的中獎機率立刻從1%暴漲到99%，這樣想就清楚多啦！
不過還是有不少堅持派網友認為「機率會重設」，甚至搬出貝氏定理來辯論。PTT上各種派系吵得不可開交，連統計系教授都跳出來參戰。有人開玩笑說這根本是「理組vs文組」的戰爭，還衍生出「三門問題測智商」的迷因梗圖。實際生活中其實也常遇到類似情境，比如投資時要不要轉換標的、考試時要不要改答案，都讓這個40年前的老問題到現在還是超有討論熱度。
最近「為什麼三門問題這麼燒腦？PTT數學板熱議中」這個話題又紅起來啦！明明是個老問題，每次討論還是會讓一堆人吵翻天。簡單來說就是三扇門後面有獎品，你選一扇後主持人會開一扇沒獎的，問你要不要換門——聽起來超簡單，但答案卻反直覺到讓人懷疑人生啊！
其實這個問題會讓人這麼糾結，主要是因為我們的大腦很難跳脫「直覺思考」的陷阱。來看看PTT網友們最常搞混的幾個點：
| 常見迷思 | 實際情況 | 舉例說明 |
|---|---|---|
| 以為換不換機率一樣 | 換門中獎機率其實是2/3 | 就像把兩扇門的機率打包一起選 |
| 忽略主持人知情 | 主持人一定會開空門 | 這動作其實給了額外資訊 |
| 用少量實驗判斷 | 要玩夠多次才明顯 | 自己試個100次就會發現差距 |
最有趣的是連數學系畢業的鄉民都承認，第一次聽到正確解答時整個傻住。有人還分享說當初在課堂上和教授argue半天，結果自己寫程式模擬後才被打臉。現在PTT上還流行用「三門派」來笑那些堅持1/2機率的人，每次戰起來都超歡樂。
說到實際應用，這個概念在數據分析跟AI決策裡其實很重要。像醫療診斷系統就會用到類似「條件機率」的思考方式。不過對一般人來說，光是理解為什麼換門比較有利就已經夠頭痛了啦！難怪每次討論串都會爆文，畢竟這種「違反常識但又是對的」的感覺實在太讓人上癮了。
新手如何理解三門問題？PTT邏輯板教學文
最近在PTT邏輯板看到好多人在討論三門問題（Monty Hall problem），這個經典的機率題目真的讓很多新手腦袋打結。今天就用最白話的方式來解釋，保證連數學苦手都能懂！先講結論：換門的中獎機率是2/3，不換只有1/3，是不是跟直覺完全相反啊？
讓我們用實際情境來模擬：假設你參加綜藝節目，面前有三道門（A、B、C），後面分別藏著兩隻山羊和一台跑車。你選了A門後，主持人（知道答案）會打開一扇有山羊的門（例如B門），這時要不要改選C門呢？多數人會覺得剩兩扇門，機率應該各半對吧？但其實背後有超重要的條件被忽略了——主持人一定會幫你排除錯誤選項！
下面用表格整理兩種選擇的結果，看完保證秒懂：
| 你的初始選擇 | 主持人開門 | 堅持原選擇結果 | 換門結果 |
|---|---|---|---|
| 選中跑車（1/3機率） | 隨意開山羊門 | 贏得跑車 | 得到山羊 |
| 選中山羊A（1/3機率） | 開山羊B門 | 得到山羊 | 贏得跑車 |
| 選中山羊B（1/3機率） | 開山羊A門 | 得到山羊 | 贏得跑車 |
從表格可以很清楚看到，只有一開始就選中跑車（1/3機率）時，不換門才會贏。但如果第一次選到山羊（2/3機率），換門就一定會中獎！這就是為什麼統計上換門比較有利。覺得很難接受的話，可以自己拿撲克牌玩個20次，記錄結果就會發現真的不是錯覺啦～
這個問題最有趣的地方在於，主持人的行為其實偷偷給了額外資訊。就像玩撲克時對手突然fold牌，你會根據這個動作調整策略一樣。下次遇到朋友爭論這個問題，直接把這篇教學文丟給他看就對啦！